Devi sempre considerare che la compilazione di un questionario limesurvey avviene all'interno di una sessione http e non sempre è possibile individuare il comportamento del rispondente (più di uno dallo stesso browser nel tuo caso) durante la compilazione del questionario che immagino sia composto da più gruppi di domande. Provo a rispondere alle tue domande:
1) Per tutte le tipologie di survey, il salvataggio dei dati parziali avviene a ogni passaggio di gruppo domande (click su pulsanti next/back). Per le indagini aperte funziona allo stesso modo. Il salvataggio dei dati in questo caso serve soltanto a far indicare al rispondente una username e password per fargli recuperare i dati del questionario nel momento in cui raggiungerà l'URL della survey in una sessione differente del browser, che potrebbe essere successiva alla prima, oppure fatta con un altro browser, su finestra anonima, etc etc. Puoi fare qualche prova. Non capisco molto la tua preoccupazione di avere le risposte anche di quelli che non hanno salvato e che hanno chiuso la pagina. In generale le risposte parziali non andrebbero prese in considerazione quando si fa una survey, sia quelle di coloro che hanno salvato che di quelli che non hanno salvato. E' fondamentale che i rispondenti completino la survey con il pulsante Invia posto nell'ultimo gruppo di domande. Devi fare in modo che sia chiaro che solo con l'invia il questionario sarà inviato. Comunque nel pannello delle risposte trovi diverse opzioni per scaricare le risposte complete, quelle incomplete e anche quelle dei rispondenti che hanno salvato.
2) Fino a quando la sessione di compilazione è rimane aperta sul browser, questa fa vedere i dati del rispondente che la ha iniziata. Quando si invia un questionario, la sessione viene chiusa, quindi usando il link aperto nuovamente, è possibile compilare un nuovo questionario. Se invece la sessione rimane appesa con un questionario compilato parzialmente, bisogna attendere la chiusura automatica della sessione (parametro che dipende dal tuo server), oppure aprire un browser differente o finestra anonima, oppure ripulire la cache, oppure provare a usare il link aggiungendo il parametro newtest=Y al link aperto della tua survey. Io lo uso per le indagini con partecipanti, e funziona bene, nel senso che quando si clicka il link viene sempre aperta una nuova sessione di compilazione. Non so se funziona anche per le indagini aperte, ti conviene fare una prova.