Quando uso o Lime Survey para disparar e-mails para um destinatário que seja gmail.com os e-mails não chegam. Porém, se eu usar a caixa de e-mail do cliente de e-mail e enviar para o Gmail, funciona. Se eu disparar do Lime Survey usando as MESMAS configurações para outros destinatários (Hotmail, por exemplo) funciona.
O que posso testar?

Por favor, ajude-nos a ajudá-lo e preencha os seguintes campos:.
A sua versão do LimeSurvey: LimeSurvey Community Edition   Versão 6.15.14+250924
Servidor próprio ou LimeSurvey Cloud: Próprio
Modelo de desenho utilizado: extends_fruity_twentythree
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Enviando emails "em massa" é uma arte em sim.

Qual forma de envio você usa para mandar os emails? SMTP?

Cada fornecedor de email como Gmail, Hotmail, Outlook, Uol, etc. tem uma forma diferente de prevenir spam.

E se você não presta atenção, você facilmente cai em algum bloqueio por parte deles.

Por exemplo, se você tiver uma lista de recipente de Gmail e uma grande parte deles são invalidos (email errado, erros de digitação, etc.) o Gmail pode achar que você está tentando de "adivinhar" emails. Ninguem (alem da Google) vai saber cada medida e como são usadas.

O que acho estranho é que os emails chegam quando for enviado da conta "do cliente", mas não usando essa conta do cliente via o Limesurvey. Imagino que você usa via SMTP.

Um ponto importante:

Porém, se eu usar a caixa de e-mail do cliente de e-mail e enviar para o Gmail, funciona.

Você está enviando estes emails de teste usanda a caixa de e-mail do cliente 100% igual do que você manda por LS? Incluindo "Assunto", o mesmo texto de mensagem, os mesmos links dentro do email, etc?